Operaciones entre conjuntos

Existen cinco operaciones entre conjuntos: unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complementación. A continuación veremos sus definiciones con ejercicios resueltos de cada una.

Unión de conjuntos

Para calcular la unión de dos conjuntos debemos juntar los elementos de ambos en un solo conjunto. Por ejemplo:

Si A = {1, 4, 6} y B = {7, 6, 9, 2}, entonces:

A ∪ B = {1, 2, 4, 6, 7, 9}

Nótese que, si hay elementos repetidos, en la unión solo se escriben una vez.

Intersección de conjuntos

Para calcular la intersección de dos conjuntos debemos fijarnos en los elementos comunes a ellos. Por ejemplo:

Si A = {1, 4, 6, 2} y B = {7, 6, 9, 2}, entonces:

A ∩ B = {2, 6}

Si ocurre que los conjuntos no tienen elementos en común, la unión es igual al conjunto vacío, en tal caso se dice que los conjuntos son disjuntos. Por ejemplo, si C = {2, 5} y D = {3, 7} entonces C ∩ D = ϕ.

Diferencia de conjuntos

Para calcular la diferencia entre dos conjuntos debemos tomar los elementos del primer conjunto excluyendo aquellos que comparte con el segundo. Por ejemplo:S

Si A = {a, b, c, d} y B = {a, k, m}, entonces:

A - B = {b, c, d}

Diferencia simétrica de conjuntos

Para calcular la diferencia simétrica de dos conjuntos primero debemos calcular sus diferencias y luego unirlas en un mismo conjunto. Por ejemplo:

Sean A = {1, 4, 5} y B = {0, 4, 9}, calculamos:

A - B = {1, 5}
B - A = {0, 9}

Con esto obtenemos:

A Δ B = {1, 5, 0, 9}

Complementación de conjuntos

Llamamos conjunto universal, simbolizado como U, a aquel que contiene a todos los elementos relacionados con aquello que estamos trabajando. Por ejemplo, si trabajamos con conjuntos de letras como A = {c, d, e}, el conjunto universal sería el que contiene todas las letras del alfabeto. Si trabajamos con conjuntos de números, se suele considerar como universal al conjunto de los números reales, salvo que se indique lo contrario. En vista de esto, se define lo siguiente:

Podemos deducir rápidamente que A^c = U - A

Para calcular el complemento de un conjunto A, hay que primero conocer el conjunto universal U, luego excluir de él a todos los elementos de A. Por ejemplo:

Sea el universal U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y el conjunto A = {1, 2, 3, 4}, el complemento de A es:

A^c = {5, 6, 7, 8, 9, 10}

Propiedades de las operaciones

Veremos a continuación las propiedades más importantes de la unión, la intersección y el complemento. Si A, B y C son tres conjuntos, U es el universal y ϕ el conjunto vacío, entonces se cumplen las siguientes leyes:

Propiedad	Simbología
Idempotencia	A ∪ A = A A ∩ A = A
Asociatividad	(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Conmutatividad	A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A
Distributividad	A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Elementos neutros	A ∪ ϕ = A A ∩ U = A
Elementos absorbentes	A ∪ U = U A ∩ ϕ = ϕ
Leyes del complemento	(Ac)c = A A ∪ Ac = U Ac = ϕ A ∩ Ac = ϕ ϕc = U
Leyes de De Morgan	(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

Ejercicios para practicar

Bibliografía

• Corral de Franco, Y. y Manzanares, L. (2018). Nociones Elementales de lógica matemática y teoría de conjuntos. Caracas. Fondo editorial OPSU.
• Gentile, E. (1984). Notas de Álgebra I. Editorial Universitaria de Buenos Aires.
• Grimaldi, R. (1997). Matemáticas discreta y combinatoria (3ra edición). Addison-Wesley Iberoamericana.
• Rojo, A. (1996). Álgebra I (18a edición). El Ateneo.