Conjunto de partes

Cómo calcular el conjunto de partes

Para obtener el conjunto de partes de un conjunto A debemos tener en cuenta que, si éste tiene n elementos, entonces hay 2ⁿ conjuntos incluidos en él. El conjunto vacío y el mismo A son dos de ellos, pues el vacío está incluido en todos los conjuntos, también todo conjunto está incluido en sí mismo. Los demás se forman combinando elementos de A de todas las formas posibles.

Ejemplo 1

Hallar el conjunto de partes de A = {1, 3}

Solución

Como A tiene dos elementos, hay 2² = 4 conjuntos incluidos en él. Ellos son ϕ, {1}, {3}, {1, 3} = A. Entonces:

P(A) = {ϕ, {1}, {3}, A}

Ejemplo 2

Calcular el conjunto potencia de B = {c, d, e}.

Solución

Con tres elementos, podemos saber que hay 2³ = 8 conjuntos incluidos en B. Ellos son: 

ϕ {c} {d} {e}
{c,d} {c,e}  {d,e}
{c,d,e}

Entonces, P(B) es el conjunto formado por todos los conjuntos anteriores:

P(B) = {ϕ, {c}, {d}, {e}, {c,d}, {c,e}, {d,e}, {c,d,e}}

Es importante recordar que en la notación por extensión no se establece un orden a priori de elementos, es por ello que, por ejemplo, los conjuntos {c, e} y {e, c} son iguales y solo se escribe uno de ellos.

Ejemplo 3

Dado el conjunto C = {1, 3, 5, 7}, obtener su conjunto de partes.

Solución

Teniendo cuatro elementos, hay 2⁴ = 16 conjuntos incluidos en C. Ellos son: 

ϕ {1}  {3}  {5}  {7} 
{1, 3} {1, 5} {1, 7}
{3, 5} {3, 7} {5, 7}
{1, 3, 5} {1, 3, 7} {3, 5, 7} {1, 5, 7}
{1, 3, 5, 7} = C

Entonces P(C) es el conjunto formado por todos los conjuntos nombrados.

Es útil formar primero todos los conjuntos de un solo elemento, luego los de dos, luego los de tres, etc. De ese modo no se pierden conjuntos. Al final de todo siempre verificar que la cantidad coincida con lo que calculamos inicialmente.

Puede llegar a confundir la idea de un conjunto formado por conjuntos, pues habíamos visto relaciones entre conjuntos como inclusión o la igualdad (que puede ser planteada como inclusión). Dado un conjunto A, sus subconjuntos pertenecen a P(A) y están incluidos en A. Fijándonos en el primer ejemplo: {c} ∈ P(A) y {c} ⊆ A. No es cierto que {c} esté incluido en P(A) (aunque ambos sean conjuntos, la relación entre ellos es de pertenencia, no de inclusión). Tampoco es cierto que {c} pertenezca a A, pues A no contiene al conjunto {c}, sino directamente a c. Por tanto: {c} ∉ A y {c} ⊈ P(A).

Conjunto de partes especiales

Como el conjunto vacío no tiene elementos, hay 2⁰ = 1 conjunto incluido en él: el mismo vacío. Por lo tanto, el conjunto de partes del vacío es el conjunto cuyo único elemento es el vacío:

P(ϕ) = {ϕ}

Un conjunto unitario es aquel que solo tiene un elemento, es por ello que tendrá 2¹ = 2 conjuntos incluidos en él: el vacío y él mismo. O sea, si A es unitario,

P(A) = {ϕ, A}

Bibliografía

• Corral de Franco, Y. y Manzanares, L. (2018). Nociones Elementales de lógica matemática y teoría de conjuntos. Caracas. Fondo editorial OPSU.
• Gentile, E. (1984). Notas de Álgebra I. Editorial Universitaria de Buenos Aires.
• Grimaldi, R. (1997). Matemáticas discreta y combinatoria (3ra edición). Addison-Wesley Iberoamericana.
• Rojo, A. (1996). Álgebra I (18a edición). El Ateneo.