Contingencia lógica

En lógica proposicional, una contingencia es una proposición compuesta que es verdadera en algunos casos y falsa en otros, por lo cual no es una tautología ni una contradicción.

Las proposiciones contingentes son las más comunes en el lenguaje natural, pues son las que usamos para describir el mundo real y hacer afirmaciones sobre lo que sucede en él. Algunos ejemplos de proposiciones contingentes en lenguaje habitual son:

• “Hace frío y está lloviendo”, sólo es verdadera cuando es cierto que hace frío y está lloviendo al mismo tiempo. Si solo hace frío pero no llueve, o viceversa, la proposición es falsa; también es falsa si no hace frío ni está lloviendo.
• “Juan come pan o mira la televisión”, es una proposición verdadera cuando es cierto lo primero y lo segundo, o cuando es cierto al menos uno de los dos; la proposición es falsa cuando ambas afirmaciones son falsas.

Ejemplos

Para saber si una proposición es una contingencia podemos construir su tabla de verdad: si existe al menos un valor verdadero y otro falso, se trata de una contingencia. Si todos los valores son verdaderos, se trata de una tautología; si son todos falsos, se trata de una contradicción. 

Ejemplo 1

La proposición ¬p ∧ q ↔ q ∨ ¬q es una contingencia de dos variables, su tabla de verdad es:

p	q	¬p	¬q	¬p ∧ q	q ∨ ¬q	¬p ∧ q ↔ q ∨ ¬q
V	V	F	F	F	V	F
V	F	F	V	F	V	F
F	V	V	F	V	V	V
F	F	V	V	F	V	F

Nótese que la proposición solo es verdadera cuando p es falso y q es verdadero, y es falsa en todos los demás casos.

Ejemplo 2

La proposición compuesta ¬p ∨ q es una contingencia:

p	q	¬p	¬p ∨ q
V	V	F	V
V	F	F	F
F	V	V	V
F	F	V	V

Ejemplo 3

¬p ∧ q → r es una proposición contingente de tres variables:

p	q	r	¬p	¬p ∧ q	¬p ∧ q → r
V	V	V	F	F	V
V	V	F	F	F	V
V	F	V	F	V	V
V	F	F	F	F	V
F	V	V	V	V	V
F	V	F	V	V	F
F	F	V	V	F	V
F	F	F	V	F	V

El único caso en que la proposición es falsa es cuando p es falso, q es verdadero y r falso.

Otros ejemplos

• ¬p
• p ∧ q 
• p ∨ q
• p → q
• p ↔ q

Se puede comprobar que estas proposiciones son contingentes viendo las tablas de verdad de los conectivos lógicos.

Bibliografía

• Acevedo González, G. (2011). Lógica Matemática. Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD).
• Castillo P, E. y Pinta, M. (2015). Lógica Matemática I: Proposiciones y Leyes de Inferencia (2da edición). Universidad Técnica de Machala.
• Copi, I. y Cohen, C. (2013). Introducción a la Lógica (2da edición). Limusa.
• Garrido, M. (1974). Lógica simbólica (4ta edición). Tecnos.
• Moreno, A. (1969). Lógica matemática: antecedentes y fundamentos. Editorial Universitaria de Buenos Aires.
• Rojo, A. (1996). Álgebra I (18a edición). El Ateneo.