Lógica proposicional
La lógica proposicional, también conocida como lógica de enunciados o cálculo proposicional, es una rama de la lógica matemática que estudia las proposiciones y sus combinaciones mediante conectivos lógicos.
A diferencia de la lógica de predicados, la lógica proposicional no usa variables ni cuantificadores, por lo que se clasifica como una lógica de orden cero. Se centra en analizar la estructura y validez de los argumentos, ofreciendo herramientas para determinar si un razonamiento es válido según el valor de verdad de sus proposiciones.
A continuación, veremos los conceptos más importantes de la lógica proposicional.
Índice
Proposiciones
Una proposición es una afirmación declarativa que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez. Las proposiciones se utilizan como unidades básicas de la lógica proposicional y se representan con letras minúsculas como p, q, r, s, etc.
Ejemplos
- p: “El Sol es una estrella”. (Proposición verdadera).
- q: “La Tierra es plana”. (Proposición falsa).
- r: “2 + 2 = 4”. (Proposición verdadera).
- s: “El agua hierve a 90°C”. (Esta proposición es falsa).
Cada proposición tiene un valor de verdad, que puede ser verdadero (V) o falso (F). La lógica proposicional no se ocupa de verificar si una proposición es verdadera en relación con el mundo real, sino de analizar su estructura formal y su coherencia dentro de un razonamiento. Por ejemplo, ante la proposición “hace frío”, la lógica no considera si efectivamente hace frío, sino que reconoce que dicha afirmación puede ser verdadera o falsa, y se enfoca en cómo se relaciona con otras proposiciones dentro de un argumento.
Las proposiciones pueden clasificarse en simples o compuestas. Una proposición simple es aquella que no contiene otras proposiciones en su interior; es una afirmación indivisible desde el punto de vista lógico, como “la luna tiene fases”. En cambio, una proposición compuesta está formada por dos o más proposiciones simples unidas mediante conectores lógicos, lo que permite construir enunciados más complejos.
Conectivos lógicos
Los conectivos lógicos son símbolos que se utilizan para formar nuevas proposiciones a partir de las existentes. Cada conectivo tiene un significado específico y determina cómo se combinan los valores de verdad de las proposiciones involucradas. Los conectores usados en lógica están en la siguiente tabla.
| Conectivo | Significado | Símbolo | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Negación | no | ¬ | “No está lloviendo” |
| Conjunción | y | ∧ | “Hoy es lunes y hace frío” |
| Disyunción inclusiva | o (inclusivo) | ∨ | “Estudio matemáticas o estudio física” |
| Disyunción exclusiva | o (exclusivo) | ⊻ | “La puerta está abierta o está cerrada, pero no ambas” |
| Condicional | si... entonces | → | “Si apruebo el examen, entonces celebro” |
| Bicondicional | si y sólo si | ↔ | “Estudio lógica si y solo si tengo examen mañana” |
Tablas de verdad
Las tablas de verdad son herramientas fundamentales para evaluar el valor de verdad de proposiciones compuestas. En ellas, se enumeran todas las combinaciones posibles de valores de verdad para las proposiciones simples y se calcula el valor de verdad de la proposición compuesta en cada caso.
A continuación vemos las tablas de verdad de cada conectivo lógico.
| p | ¬p |
|---|---|
| V | F |
| F | V |
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
| p | q | p ∨ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
| p | q | p ⊻ q |
|---|---|---|
| V | V | F |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
| p | q | p → q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
| p | q | p ↔ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |
Equivalencias lógicas
En lógica proposicional, dos proposiciones son equivalentes lógicamente si tienen el mismo valor de verdad en todas las posibles interpretaciones. Esto significa que las proposiciones en cuestión son intercambiables sin afectar la veracidad de un argumento.
Dos proposiciones p y q se consideran equivalencias lógicas (simbolizado como p ≡ q o también p ↔ q) si y sólo si sus tablas de verdad coinciden en todas las filas. Es decir, para cada combinación posible de valores de verdad de las proposiciones atómicas que componen p y q, el valor de verdad de p debe ser el mismo que el valor de verdad de q.
Las equivalencias lógicas son esenciales en la lógica matemática y la informática porque permiten simplificar proposiciones complejas y demostrar teoremas, además de permitir transformar argumentos de una forma a otra sin alterar su validez.
Algunas de las leyes de equivalencia lógica más importantes son:
| Nombre de la ley | Simbología |
|---|---|
| Doble negación | ¬(¬p) ≡ p |
| Conmutatividad de la conjunción | p ∧ q ≡ q ∧ p |
| Asociatividad de la conjunción | (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) |
| Distributividad de la conjunción sobre la disyunción | p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) |
| Conmutatividad de la disyunción | p ∨ q ≡ q ∨ p |
| Asociatividad de la disyunción | (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) |
| Absorción de la conjunción en la disyunción | p ∧ (p ∨ q) ≡ p |
| Absorción de la disyunción en la conjunción | p ∨ (p ∧ q) ≡ p |
| Ley de De Morgan de negación de la conjunción | ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q |
| Ley de De Morgan de negación de la disyunción | ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q |
Para comprobar la equivalencia lógica de dos proposiciones, se pueden construir tablas de verdad. Allí se evalúan todas las combinaciones posibles de valores de verdad para las proposiciones componentes y se comparan los resultados.
Las equivalencias lógicas cumplen las siguientes propiedades:
- Reflexividad: toda proposición es equivalente a sí misma (p ≡ p).
- Simetría: si p ≡ q, entonces q ≡ p.
- Transitividad: si p ≡ q y q ≡ r, entonces p ≡ r.
Reglas de inferencia
Las reglas de inferencia son patrones o fórmulas que permiten deducir una nueva proposición válida a partir de una o más proposiciones premisas que se consideran verdaderas. Estas reglas son fundamentales para construir argumentos lógicos válidos y razonar de manera rigurosa.
Algunas de las reglas de inferencia más comunes son:
1) Modus Ponens (MP): nos permite concluir que una proposición es verdadera si sabemos que una implicación es verdadera y su antecedente también lo es. En símbolos: si p → q y p son verdaderos, entonces q debe ser verdadera.
*\begin{array}{l} p → q \\ p \\ \hline \therefore q \end{array}*
Ejemplo:
- Si Juan estudia (p), entonces aprobará el examen (q).
- Juan estudia (p).
- Por lo tanto, Juan aprobará el examen (Q).
2) Modus Tollens (MT): nos permite concluir que el antecedente de una implicación es falso si sabemos que la implicación es verdadera y su consecuente es falso. En símbolos: si p → q es verdadera y q es falsa, entonces p debe ser falsa.
*\begin{array}{l} p → q \\ ¬q \\ \hline \therefore ¬p \end{array}*
Ejemplo:
- Si llueve (p), entonces la calle está mojada (q).
- La calle no está mojada (¬q).
- Por lo tanto, no llueve (¬p).
3) Silogismo disyuntivo (SD): nos permite concluir que una de dos proposiciones es verdadera si sabemos que una disyunción es verdadera y una de sus partes es falsa. En símbolos: si p ∨ q es verdadera y p es falsa, entonces q debe ser verdadero.
*\begin{array}{l} p ∨ q \\ ¬p \\ \hline \therefore q \end{array}*
Ejemplo:
- María está en casa (p) o está en la oficina (q).
- María no está en casa (¬p).
- Por lo tanto, María está en la oficina (q).
4) Silogismo hipotético (SH): nos permite concluir una nueva implicación a partir de dos implicaciones conectadas. En símbolos: si p → q es verdadera y q → r es verdadera, entonces p → r debe ser verdadero.
*\begin{array}{r} p → q \\ q → r \\ \hline \therefore p → r \end{array}*
Ejemplo:
- Si Pedro va al cine (p), entonces comprará palomitas (q).
- Si Pedro compra palomitas (q), entonces estará feliz (r).
- Por lo tanto, si Pedro va al cine (p), entonces estará feliz (r).
Circuitos lógicos
Los circuitos lógicos son representaciones gráficas que utilizan símbolos y diagramas para ilustrar las relaciones entre proposiciones y sus valores de verdad. Estos circuitos permiten visualizar de forma intuitiva el funcionamiento de las conectivas lógicas y cómo se determinan los valores de verdad asociándose al pasaje de corriente en un circuito eléctrico con uno o varios interruptores.
En electrónica digital, estos circuitos procesan señales binarias (0 y 1, que representan valores de verdad falso y verdadero respectivamente) para realizar operaciones lógicas. Los circuitos lógicos son fundamentales en la construcción de sistemas digitales como computadoras, dispositivos móviles y otros equipos electrónicos.
Los componentes básicos de un circuito lógico son:
1) Proposiciones (variables lógicas): representan las entradas del circuito. Cada variable lógica puede tomar uno de dos valores: 0 (falso) o 1 (verdadero).
2) Conectores lógicos (puertas lógicas): realizan operaciones lógicas sobre las variables. Las puertas lógicas básicas son:
- AND (conjunción): produce una salida de 1 solo si todas sus entradas son 1.
- OR (disyunción): produce una salida de 1 si al menos una de sus entradas es 1.
- NOT (negación): produce una salida que es la inversa de su entrada (0 se convierte en 1 y 1 se convierte en 0).
- NAND (negación de la conjunción): produce una salida de 0 solo si todas sus entradas son 1.
- NOR (negación de la disyunción): produce una salida de 0 si al menos una de sus entradas es 1.
- XOR (disyunción exclusiva): produce una salida de 1 si una y solo una de sus entradas es 1.
- XNOR (negación de la disyunción exclusiva): produce una salida de 1 si ambas entradas son iguales.
Ejemplo: el circuito lógico asociado a la proposición compuesta p ∧ (q ∨ r) es:
Aplicaciones
La lógica proposicional tiene numerosas aplicaciones en diversas áreas debido a su capacidad para formalizar y analizar argumentos. Algunas de las principales aplicaciones de la lógica proposicional son:
- Circuitos digitales: son la base de las computadoras y otros dispositivos electrónicos y se basan en la lógica booleana, que es una aplicación directa de la lógica proposicional.
- Matemáticas: la lógica proposicional es fundamental para la axiomatización y el desarrollo de las matemáticas. Se utiliza para definir conceptos matemáticos, formular y demostrar teoremas.
- Informática: los lenguajes de programación se basan en principios de lógica proposicional para evaluar condiciones y controlar el flujo del programa.
- Filosofía: en el análisis filosófico se utiliza la lógica proposicional para estudiar la naturaleza de la verdad, el significado y la argumentación.
- Derecho: la lógica de proposiciones se utiliza en el análisis jurídico para evaluar la validez de los argumentos legales y para identificar posibles falacias en el razonamiento jurídico.
- Educación: enseñar lógica proposicional en la educación primaria y secundaria ayuda a desarrollar el pensamiento crítico y las habilidades de razonamiento lógico de los estudiantes.
Bibliografía
- Acevedo González, G. (2011). Lógica Matemática. Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD).
- Castillo P, E. y Pinta, M. (2015). Lógica Matemática I: Proposiciones y Leyes de Inferencia (2da edición). Universidad Técnica de Machala.
- Corral de Franco, Y. y Manzanares, L. (2018). Nociones Elementales de lógica matemática y teoría de conjuntos. Caracas. Fondo editorial OPSU.
- Daun, J. y Falcón, Y. (1995). Lógica matemática. Universidad Autónoma Metropolitana.
- Garrido, M. (1974). Lógica simbólica (4ta edición). Tecnos.
- Rojo, A. (1996). Álgebra I (18a edición). El Ateneo.
Contenidos de lógica proposicional
Subir
Deja una respuesta