Contradicción lógica

En lógica proposicional, una contradicción es una proposición compuesta que es falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la conforman.

La contradicción se trata de un escenario en el que dos o más afirmaciones no pueden ser simultáneamente verdaderas bajo el mismo contexto, por ejemplo: “hace frío y no hace frío”. Esta oración expresa una contradicción lógica evidente, pues afirma que algo sucede y que no sucede al mismo tiempo.

Las contradicciones lógicas son fundamentales en la lógica matemática ya que permiten, entre otras cosas, identificar argumentos inválidos: si un argumento conduce a una contradicción, se demuestra que es inválido, independientemente de la verdad de sus premisas.

Tabla de verdad de una contradicción

Para verificar si una proposición es contradictoria, podemos construir una tabla de verdad. Si la columna de la proposición resulta ser falsa para todas las interpretaciones de las variables, entonces se trata de una contradicción.

Por ejemplo, la siguiente es la tabla de verdad de la proposición p ∧ ¬p:

p	¬p	p ∧ ¬p
V	F	F
F	V	F

Observamos que la proposición compuesta p ∧ ¬p es falsa en ambas filas, independientemente de si p es verdadera o falsa. Esto significa que la proposición compuesta es una contradicción.

Las contradicciones se diferencian de las tautologías, las cuales son verdaderas siempre, y de las contingencias, las cuales son verdaderas en algunos casos y falsas en otros. Toda contradicción es la negación de una tautología y toda tautología es la negación de una contradicción. 

Para obtener la tautología asociada a la contradicción p ∧ ¬p, basta con negar esa proposición. Así, la proposición ¬(p ∧ ¬p) es una tautología o ley lógica, que se conoce como “principio de la no contradicción”, el cual establece que una proposición no puede ser verdadera y falsa simultáneamente. Mediante una ley de De Morgan, ¬(p ∧ ¬p) puede escribirse como p ∨ ¬p, que se conoce como el “principio del tercero excluido”.

Ejemplos

A continuación veremos algunos ejemplos de contradicciones en lenguaje habitual y en lenguaje lógico, junto con sus tablas de verdad.

Ejemplo 1

Las siguientes son afirmaciones en lenguaje habitual son contradictorias:

• "El número 2 es par e impar".
• "Es de día pero es de noche".
• "Tengo hambre y no tengo hambre."
• "La caja está abierta y cerrada".
• "Juan está dormido y despierto".

Todos estos ejemplos corresponden a la proposición p ∧ ¬p, cuya tabla de verdad aparece más arriba.

Ejemplo 2

La proposición p ↔ ¬p es una contradicción, la siguiente es su tabla de verdad:

p	¬p	p ↔ ¬p
V	F	F
F	V	F

Ejemplo 3

La proposición (p ∨ q) ∧ ¬(p ∨ q) es contradictoria:

p	q	p ∨ q	¬(p ∨ q)	(p ∨ q) ∧ ¬(p ∨ q)
V	V	V	F	F
V	F	V	F	F
F	V	V	F	F
F	F	F	V	F

Ejemplo 4

La proposición compuesta ¬(p ∧ q → p) es una contradicción.

p	q	p ∧ q	p ∧ q → p	¬(p ∧ q → p)
V	V	V	V	F
V	F	F	V	F
F	V	F	V	F
F	F	F	V	F

Más ejemplos

• (p ∧ q) ∧ (r ∧¬p)
• ¬(p ∨ ¬p)
• Negar cualquier ley lógica conduce a una contradicción.

Demostraciones por contradicción

Las contradicciones también tienen un papel importante en las demostraciones matemáticas. Las pruebas por contradicción, también llamadas por reducción al absurdo, consisten en asumir lo contrario a lo que se quiere demostrar y mostrar que esta suposición conduce a una contradicción lógica. Al llegar a esta contradicción, se deduce que la proposición original debe ser verdadera.

En otras palabras, se asume que la proposición es falsa y, a partir de esta suposición, se deduce una serie de consecuencias lógicas que, al final, llevan a una contradicción con un hecho conocido o con otra proposición ya demostrada. Al llegar a esta contradicción, se refuta la suposición inicial de que la proposición era falsa, lo que implica que debe ser verdadera.

Ejemplo: se quiere demostrar que la suma de dos números pares es otro número par.

Para comenzar, supongamos que esa afirmación es falsa, es decir: la suma de dos números pares no es un número par, sino uno impar. Recordemos que un número par es aquel que puede ser expresado como *2k,* donde k es un número entero.

Definamos dos números pares a y b. Por lo dicho anteriormente, *a=2m* y *b=2n,* donde m y n son enteros. Procedemos a sumar a y b:

*a+b=2m+2n*

Sacando factor común 2:

*a+b=2(m+n)*

Ahora bien, *m+n* es un número entero, pues es la suma de dos números enteros. Entonces, la expresión *2(m+n)* es un número par y, como *a+b=2(m+n),* resulta que *a+b* es un número par. Esto contradice la suposición inicial donde decíamos que *a+b* es un número impar. 

Dado que nuestra suposición inicial lleva a una contradicción, debemos concluir que esa suposición es falsa. Por lo tanto, la afirmación original es verdadera: la suma de dos números pares es par.

Bibliografía

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• Castillo P, E. y Pinta, M. (2015). Lógica Matemática I: Proposiciones y Leyes de Inferencia (2da edición). Universidad Técnica de Machala.
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• Garrido, M. (1974). Lógica simbólica (4ta edición). Tecnos.
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