Conjunto vacío

El conjunto vacío o nulo es aquel que no contiene ningún elemento. Se lo simboliza como Ø o con dos corchetes sin nada dentro { }. 

Ejemplos

El conjunto vacío puede expresarse por comprensión indicando una propiedad que ningún elemento cumple. También puede surgir como solución a operaciones entre conjuntos.

1. Ø = {x | x ≠ x}
2. Ø = {x | 0 ⋅ x = 4}
3. Ø = {x | x = 2 y x = 8}
4. Ø = {x | x es un número real y x² = -1} 
5. Ø = {x | x es un número real y |x| < 0}
6. Ø = {x | x es un número entero y 5 < x < 6}, porque entre dos números enteros consecutivos no existe ningún entero.
7. Si A = {a, b} y B = {1, 2} entonces A ∩ B = Ø
8. El conjunto de planetas que orbitan alrededor de la Luna es Ø.

Propiedades

Algunas propiedades importantes del conjunto vacío incluyen:

1. El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto, hasta de sí mismo. Es decir, Ø ⊆ A para cualquier conjunto A, también Ø ⊆ Ø. Esto se debe a que no existen elementos en el conjunto vacío que no estén en A.
2. El conjunto vacío es finito y su cardinal es cero: |Ø| = 0
3. El conjunto vacío es único. Si suponemos que además de Ø existe Ø’ también vacío, por la primera propiedad ocurrirá que Ø ⊆ Ø’ y Ø’ ⊆ Ø. Como se da la inclusión mutua, ambos conjuntos son iguales: Ø = Ø’.
4. El único subconjunto del conjunto vacío es él mismo. Simbólicamente, A ⊆ Ø si y solo si A = Ø. En otras palabras, el único elemento del conjunto de partes del vacío es el mismo vacío: P(Ø)={Ø}.
5. El conjunto vacío es elemento del conjunto de partes de cualquier conjunto: Ø ∈ P(A) para cualquier conjunto A. Esto se debe a la primera propiedad enunciada.
6. La unión de un conjunto A con el conjunto vacío es simplemente A: A ∪ Ø = A.
7. La intersección de un conjunto A con el conjunto vacío es el conjunto vacío. A ∩ Ø = Ø.
8. La diferencia de cualquier conjunto consigo mismo es el conjunto vacío: A - A = Ø
9. La diferencia de cualquier conjunto con el vacío es el mismo conjunto: A - Ø = A
10. El complemento del conjunto vacío es el conjunto universal: Ø’=U; y el complemento del conjunto universal es el conjunto vacío: U’=Ø.
11. El producto cartesiano de cualquier conjunto con el conjunto vacío es el conjunto vacío. Esto se debe a que no hay pares ordenados que se puedan formar cuando uno de los conjuntos es vacío.

Bibliografía

• Corral de Franco, Y. y Manzanares, L. (2018). Nociones Elementales de lógica matemática y teoría de conjuntos. Caracas. Fondo editorial OPSU.
• Gentile, E. (1984). Notas de Álgebra I. Editorial Universitaria de Buenos Aires.
• Grimaldi, R. (1997). Matemáticas discreta y combinatoria (3ra edición). Addison-Wesley Iberoamericana.
• Rojo, A. (1996). Álgebra I (18a edición). El Ateneo.