Función proposicional

Una función proposicional es una expresión que contiene una o más variables y que se convierte en una proposición lógica (es decir, una afirmación que puede ser verdadera o falsa) cuando se asignan valores específicos a sus variables o se cuantifica la expresión.

A los enunciados de este tipo también se les llama esquemas proposicionales, fórmulas proposicionales abiertas o proposiciones abiertas. Se simbolizan utilizando letras mayúsculas P, Q, R, S, etc., con las variables entre paréntesis. Por ejemplo:

• P(x): x > 3
• Q(y): y + 5 = 8
• R(x, y): x + 5 = y + 3
• S(x): “x es un número par”
• T(z): “z tiene cabello negro”

Estos enunciados no son proposiciones porque no puede decirse si son verdaderos o falsos, debido a que no se conoce los valores de las variables x, y, z. Si, por ejemplo, tomamos la expresión “P(x): x > 3” y asignamos a x el valor 5, el enunciado pasa a ser “P(5): 5 > 3”, el cual sí es una proposición y en este caso es verdadera; si hiciéramos x = 0, quedaría “P(0): 0 > 3”, la cual es una proposición falsa.

Cómo convertir una función proposicional en proposición

Existen dos maneras de convertir una función proposicional en una proposición: por sustitución y por cuantificación.

Sustitución

La sustitución consiste en asignar un valor específico a la variable o variables de la función proposicional. Al hacerlo, se elimina la indeterminación y se obtiene una proposición concreta que puede ser verdadera o falsa.

Al conjunto de todos los términos posibles que se pueden utilizar en la sustitución se le llama universo de discurso U. Este universo es el conjunto de todos los valores que las variables pueden tomar.

Ejemplo

Sea la función proposicional: P(x): x > 0 con el universo de discurso: U = {1, 2, 3, -1, -2, -3}. Al sustituir x = 3, obtenemos la proposición 3 > 0, que es verdadera. Al sustituir x = -2, se obtiene -2 > 0, que es una proposición falsa.

Se llama conjunto de verdad al conjunto de todos los elementos del universo de discurso que hacen verdadera la proposición al ser sustituidos en la variable. En el ejemplo anterior, el conjunto de verdad es {1, 2, 3}, ya que los demás valores harán una proposición falsa.

Cuantificación

La cuantificación es un proceso diferente en el que, en lugar de asignar un valor concreto a las variables, se antepone un símbolo llamado cuantificador. El cuantificador indica cómo se evaluará la función proposicional respecto a todos o algunos elementos del dominio.  Los cuantificadores más comunes son el universal y el existencial.

Algunos ejemplos de cuantificación en el lenguaje cotidiano son: “todos los argentinos son latinoamericanos”, “algunos estudiantes aprobaron el examen”.

1) Cuantificador universal (∀): significa "para todo", “cualquiera”, “cada”, simbólicamente se escribe ∀x: P(x) que se lee “para todo x se verifica P(x)”. La proposición cuantificada es verdadera cuando todos los valores del dominio (universo de discurso) cumplen con la propiedad.

Ejemplos

• ∀ x ∈ ℕ: x + 1 > x (para todo número natural, al sumarle 1 se obtiene un número mayor).
• ∀ x ∈ ℝ: x² ≥ 0 (el cuadrado de cualquier número real es mayor o igual que cero).
• ∀ x ∈ ℤ: x + (-x) = 0 (la suma de un entero y su opuesto es cero).
• ∀ x ∈ ℚ: 2x ∈ ℚ (el doble de un número racional sigue siendo racional).

2) Cuantificador existencial (∃): que significa "existe al menos uno", simbólicamente se escribe ∃x / P(x) que se lee “existe un x tal que P(x)”. La proposición cuantificada es verdadera cuando al menos un elemento del dominio cumple con la propiedad.

Ejemplos

• ∃x ∈ ℤ / x² = 4 (existe un número entero cuyo cuadrado es 4).
• ∃x ∈ ℚ / x² = 2 (existe un número racional cuyo cuadrado es 2, esta proposición es falsa).
• ∃x ∈ ℝ / x < 0 (existe al menos un número real que es negativo).
• ∃x ∈ ℕ / “x es múltiplo de 10” (existe un número natural que es múltiplo de 10).

Los cuantificadores, tanto el universal como el existencial, alcanzan a la función proposicional que tengan más cerca, salvo que lo modifiquen paréntesis. Por ejemplo: ∀x: P(x) ∨ Q(x) se interpreta como [∀x: P(x)] ∨ Q(x). Si quisiéramos que el cuantificador alcance a las dos funciones, debemos escribir ∀x: [ P(x) ∨ Q(x) ].

Negación de cuantificadores

En lógica de predicados, cuando se niega una proposición que contiene un cuantificador, el cuantificador cambia de tipo y la proposición interna también se niega. Esto se conoce como regla de negación de cuantificadores, y es fundamental para transformar o demostrar equivalencias lógicas.

Las reglas son las siguientes:

1) La negación de un cuantificador universal se convierte en un cuantificador existencial: 

¬(∀x: P(x)) ≡ ∃x / ¬P(x)

Es decir, “no es cierto que todos los x cumplen P(x)” equivale a “existe al menos un x que no cumple P(x)”.

2) La negación de un cuantificador existencial se convierte en un cuantificador universal:

¬(∃x / P(x)) ≡ ∀x: ¬P(x)

Es decir, “no existe un x que cumple P(x)” equivale a decir “todos los x no cumplen P(x)”.

Ejemplos

1) Sea P(x): x > 0, entonces:

¬(∀x: x > 0) ≡ ∃x / x ≤ 0

Es decir, “no todos los números son positivos” equivale a decir “existe al menos un número que no es positivo”

2) Sea Q(x): x² = -1, entonces:

¬(∃x ∈ ℝ / x² < 0) ≡ ∀x ∈ ℝ : x² ≥ 0

Es decir, “no existe un número real cuyo cuadrado es negativo” equivale a “todos los números reales elevados al cuadrado son no negativos”