Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos sin importar el orden en que se presenten o si se repiten. La relación de igualdad se simboliza con "=". Así, si A y B son dos conjuntos iguales, se escribe A=B. 

Una forma de determinar si dos conjuntos son iguales es comprobar si se incluyen mutuamente. Esto proviene de la propiedad de antisimetría de la inclusión de conjuntos:

A = B si y sólo si A ⊆ B y B ⊆ A

Dos conjuntos no son iguales si uno contiene al menos un elemento que el otro conjunto no contiene y se utiliza el símbolo "≠". Entonces, si A y B son diferentes, se escribe A≠B.

A diferencia de la equivalencia, donde los conjuntos solo deben tener el mismo cardinal, para ser iguales los conjuntos deben tener el mismo cardinal y además los mismos elementos.

Ejemplos

1. El conjunto A = {1, 2, 3} es igual al conjunto B = {3, 1, 2} porque ambos tienen los mismos elementos, aunque estén en orden diferente, entonces A = B.
2. El conjunto C = {a, b, c, c, b} y el D = {b, a, a, b, c} son iguales, pues ambos tienen iguales elementos, aunque aparezcan en orden diferente o se repitan.
3. El conjunto E = {-1, 0, 1} es diferente del conjunto F = {1, 2, 4}, porque los elementos "-1" y "0" están en E pero no en F, a su vez, "2" y "4" están en F pero no en E. Entonces, E ≠ F.
4. El conjunto M = {-2, 2} es igual al conjunto N = {x | x² = 4}, porque podemos escribir a N por extensión como N={-2, 2} y concluimos que M = N.
5. El conjunto infinito de los enteros positivos Z⁺= {1, 2, 3, 4,...} es igual al conjunto de los números naturales N = {1, 2, 3, 4,...} porque ambos tienen los mismos elementos, entonces Z⁺=N.
6. El conjunto de los números reales R es distinto del conjunto de los números racionales Q, porque existen números reales que no son racionales, sino que son irracionales (como π, e, √2, etc). Entonces, ℝ ≠ ℚ.

Propiedades de la igualdad

La relación de igualdad de conjuntos cumple con las siguientes propiedades.

• Reflexividad: todo conjunto es igual a sí mismo. Es decir, A = A para cualquier conjunto A.
• Simetría: si un conjunto es igual a otro, entonces el segundo conjunto también es igual al primero. Es decir, si A = B, entonces B = A.
• Transitividad: si un conjunto es igual a otro y éste es igual a un tercero, entonces el primer conjunto es igual al tercero. Es decir, si A = B y B = C, entonces A = C.

Ejercicios para practicar

Bibliografía

• Corral de Franco, Y. y Manzanares, L. (2018). Nociones Elementales de lógica matemática y teoría de conjuntos. Caracas. Fondo editorial OPSU.
• Gentile, E. (1984). Notas de Álgebra I. Editorial Universitaria de Buenos Aires.
• Grimaldi, R. (1997). Matemáticas discreta y combinatoria (3ra edición). Addison-Wesley Iberoamericana.
• Rojo, A. (1996). Álgebra I (18a edición). El Ateneo.